摘要： 更正并致歉首先：更正并致歉。在上一篇文章《橢圓性質(zhì)匯總》中，有細(xì)心讀者發(fā)現(xiàn)文中出現(xiàn)兩處錯(cuò)誤，現(xiàn)聲明更正如下：1，橢圓直徑性質(zhì)證明過程更正如下：2，焦點(diǎn)三角形面積公式更正為：本人再次...

更正并致歉

首先：更正并致歉。在上一篇文章《橢圓性質(zhì)匯總》中，有細(xì)心讀者發(fā)現(xiàn)文中出現(xiàn)兩處錯(cuò)誤，現(xiàn)聲明更正如下：

1，橢圓直徑性質(zhì)證明過程更正如下：

2，焦點(diǎn)三角形面積公式更正為：

本人再次對(duì)文章編輯過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤致歉，希望大家持續(xù)關(guān)注并積極指正。

上一篇文章已對(duì)橢圓性質(zhì)進(jìn)行了匯總，本文對(duì)高考考點(diǎn)中涉及的雙曲線的部分性質(zhì)進(jìn)行匯總。

注：以下僅討論焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線性質(zhì)。

雙曲線定義

1.第一定義

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線，其中2a<|F1F2|。此為課本上的標(biāo)準(zhǔn)定義，不再詳述。

2.第二定義

平面內(nèi)到定點(diǎn)F（±c，0）的距離和到定直線l：x=±a2/c的距離之比為常數(shù)e=c/a（e>1）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。其中定點(diǎn)F（±c，0）為雙曲線的左右焦點(diǎn)，定直線l：x=±a2/c為雙曲線的左右準(zhǔn)線。

對(duì)第二定義給出證明：

以右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線為例：

上述定義即可作為判定定理也可作為性質(zhì)定理。

雙曲線方程

1.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

不再詳述。

2.雙曲線參數(shù)方程

注：sec為正割函數(shù)，secθ=1/cosθ

其中θ為參數(shù)，θ的幾何意義如下圖：

以雙曲線實(shí)軸和虛軸為直徑分別做圓C1（圖中大圓）、C2（圖中小圓），對(duì)雙曲線上任一點(diǎn)M，做x軸垂線，垂足為A'。過A'做圓C1切線，切點(diǎn)為A。過圓C2與x正半軸焦點(diǎn)B做圓C2的切線，與過M并平行于x軸的直線交于B'點(diǎn)。則O、A、B'三點(diǎn)共線，∠AOx即為參數(shù)θ。

切線

1.雙曲線切線定理

雙曲線的任意一條切線平分切點(diǎn)所在的焦點(diǎn)三角形頂角。

圖中∠α=∠β，對(duì)頂角相等，切線是焦點(diǎn)三角形的一條角平分線。

證明從略。該性質(zhì)在高考中應(yīng)用較少，但其揭示了雙曲線的一條光學(xué)性質(zhì)，該性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)課本上也有提及，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，其反向延長線在另一個(gè)焦點(diǎn)匯聚。

2.雙曲線切線方程

過雙曲線上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：

以下用求導(dǎo)方法給出證明：

上述證明過程用到了隱函數(shù)求導(dǎo)，高中范圍不涉及該知識(shí)點(diǎn)，有興趣的同學(xué)可以嘗試用二次函數(shù)判別式推導(dǎo)。

3.雙曲線切點(diǎn)弦方程

過雙曲線外一點(diǎn)，做雙曲線上的兩條切線（如果存在的話），切點(diǎn)為A，B，則過A，B的切點(diǎn)弦方程為：

這里需要注意，過雙曲線外（或上）一點(diǎn)做雙曲線切線，最多只可能做兩條切線。具體見下：

4.雙曲線切線存在情況

如圖：雙曲線及漸近線將平面分成ABCDEF六個(gè)區(qū)域：

1.當(dāng)P位于A、B區(qū)域時(shí)，過P可在雙曲線兩支各做一條切線；

2.當(dāng)P位于C、D區(qū)域時(shí)，過P可在雙曲線較近的一支做兩條切線；

3.當(dāng)P位于E、F區(qū)域時(shí)，過P不能做切線；

4.當(dāng)P位于雙曲線上時(shí)，過P只可在P點(diǎn)所在支做一條切線；

5.當(dāng)P位于漸近線上（不含原點(diǎn)）時(shí)，過P只可在雙曲線較近的一支做一條切線；

6.當(dāng)P位于原點(diǎn)時(shí)，過P不能做切線；

具體列表如下：

直徑

過雙曲線中心的弦被稱為雙曲線的直徑。實(shí)軸是雙曲線最短的直徑，雙曲線直徑可以無限長，故雙曲線沒有最長的直徑。雙曲線直徑所在直線的斜率的絕對(duì)值必然小于漸近線斜率的絕對(duì)值。

1.雙曲線直徑性質(zhì)

雙曲線上的點(diǎn)與雙曲線直徑兩端點(diǎn)連線的斜率（如果存在的話）之積是定值，定值為e2-1。

特別的：雙曲線上任意點(diǎn)到實(shí)軸兩端點(diǎn)連線斜率之積是定值e2-1。

2.雙曲線直徑長

雙曲線直徑長公式為：

其中k為直徑所在直線斜率。該公式請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo)。顯然，直徑存在的充要條件是|k|<b/a。

特別的：當(dāng)k=0時(shí)，上式結(jié)果為2a，即為實(shí)軸；當(dāng)k趨于±b/a，即漸近線斜率時(shí)，上式結(jié)果趨于無窮大。

焦半徑

1.焦半徑長

焦半徑長：|PF1|=|ex+a|，|PF2|=|ex-a|（F1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在右支上時(shí)，等式右端絕對(duì)值內(nèi)取正，P點(diǎn)在左支上時(shí)取負(fù)）。

通過準(zhǔn)線定義證明，過程略。

2.焦半徑性質(zhì)

以短焦半徑為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓外切，以長焦半徑為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切。

以P點(diǎn)在右支上舉例進(jìn)行證明：

證：設(shè)以PF2為直徑的圓的圓心為O2，則圓O2半徑為r2=(ex-a)/2，

以長軸為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓O半徑為r=a，

兩圓心距離|OO2|=(ex+a)/2=r+r2，

故以PF2為直徑的圓與以長軸為直徑的圓外切。

同理可證，以PF1為直徑的圓與以長軸為直徑的圓內(nèi)切。

3.焦點(diǎn)弦

焦點(diǎn)弦長公式為：

其中k為焦點(diǎn)弦所在直線斜率。該公式請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo)。

當(dāng)|k|<b/a時(shí)，焦點(diǎn)在焦點(diǎn)弦延長線上，當(dāng)|k|>b/a時(shí)，焦點(diǎn)在焦點(diǎn)弦上，當(dāng)|k|=b/a時(shí)，焦點(diǎn)弦不存在（或無限長）

特別的：當(dāng)k=0時(shí)，上式結(jié)果為2a，即為實(shí)軸；當(dāng)k趨于無窮大時(shí)，上式結(jié)果即為通徑長：2b^2/a

4.焦點(diǎn)三角形

焦點(diǎn)三角形面積公式：